La notazione esponenziale ed i logaritmi

The exponential notation and logarithms

Un numero qualsiasi (positivo) può essere rappresentato da un altro (la base) moltiplicato per se stesso un certo numero di volte (esponente). Quando moltiplichiamo lo stesso numero più volte possiamo scrivere la cosa in forma di base ed esponente.

Ad esempio il numero 100 può essere rappresentato come 10x10 che può essere scritto come 10² (che si legge dieci alla seconda). 10 rappresenta la base e 2 l'esponente.

Analogamente il numero 1000 può essere rappresentato come 10x10x10 che può essere scritto come 10³  (che si legge dieci alla terza).

Moltiplicare 100x1000 equivale a moltiplicare (10x10) e (10x10x10), cioè 10x10x10x10x10 = 10⁵  (dieci alla quinta).

Se riscrivo tutto in forma esponenziale ottengo: 10² x 10³ = 10⁵ = 10⁽²⁺³⁾

Non so se la cosa è chiara ma ho trasformato il prodotto di due numeri (100 e 1000) in una somma di altri due (2 e 3).

Il numero 2 è il logaritmo di 100 in base 10.

Il numero 3 è il logaritmo di 1000 in base 10.

Il logaritmo di un numero rappresenta l'esponente da dare ad una base data per ottenere il numero.

Dagli esempi precedenti si intuisce che il logaritmo di un numero compreso tra 100 e 1000 è compreso tra 2 e 3. Ad esempio il logaritmo di 200 è pari a 2,301. Non entrerò nei dettagli di come si possa moltiplicare 10 per un numero di volte non intero (2,301 nell'esempio) ma la cosa è fattibile.

Un ultimo sforzo, siamo quasi alla soluzione del giallo.

Il funzionamento di un regolo con scala lineare per fare le somme è evidente. Se però sostituisco la scala lineare con una scala logaritmica (in cui la lunghezza del segmento è proporzionale al logaritmo del numero impresso sulla scala) ottengo quanto mi serve per fare le moltiplicazioni.

Qui di seguito riporto una tabella con i logaritmi in base 10 dei primi 20 numeri utilizzati per realizzare il regolo. (logaritmi approssimati alla terza cifra dopo la virgola)

Whichever positive number may be written in the form of a base multiplied for itself so many times (exponent).

For instance the number 100 can be seen as 10x10 that can be written 10² (that we read as ten squared): 10 is the base and 2 the exponent.

On the analogy, the number 1000 can be seen as 10x10x10 that can be written as 10³ (that we read 10 cubed).

The ration 100x1000 is equivalent to (10x10)x(10x10x10), or 10x10x10x10x10=10⁵

In exponential form: 10²x10³ = 10⁵ = 10⁽²⁺³⁾

Maybe is not so evident, but a multiplication (100x1000) was leaded back to an addition of two different numbers (2+3).

The number 2 is the logarithm of 100, on base 10.

The number 3 is the logarithm of 1000, on base 10.

A logarithm of a number is the exponent to assign to a given base to obtain the number.

By the previous examples you can understand that a logarithm of numbers included between 100 to 1000, is a number included between 2 and 3. The logarithm of 200 is 2.301. Here I will not explain how to elevate a base to a non integer exponent, but let’s know that is possible.

We are now close to the thriller’s solution.

Adopting a logarithmic scale in a slide rule, (each segment as a length proportional to the logarithm of the number printed on the scale, it will be possible to make multiplications.

In the following table you can find the logarithms of the first twenty numbers, that I used to build my rule (note that the logarithms are rounded to the third figure after the dot)






 

I dati della terza colonna sono stati ottenuti moltiplicando la seconda colonna per 25. Perché il regolo funzioni si poteva usare un numero qualsiasi (invece di 25); è sufficiente infatti che le lunghezze sul regolo siano proporzionali ai valori dei logaritmi.
 

The third column is obtained multiplying the values in the second column by 25. But the rule could run also with any number instead of 25; you only need to represent lengths, on the rule, proportional to the values of the logarithms.

Una trattazione più dettagliata sul principio e sull'uso dei logaritmi la trovi in questa pagina.

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P.S. Chi non ha mai sentito parlare di logaritmi avrà forse delle difficoltà a capire ad una prima lettura quanto ho detto; è del tutto normale. Riflettendoci però su, ad un certo punto il meccanismo si svelerà completamente.
 

P.S. Whose of you that never knew before the logarithms, at the beginning you will have difficulties to understand; is normal. But if you will insist, I think you will understand the process soon.