Nati lo stesso giorno / Same birthday

Sapete rispondere alla seguente domanda?

Qual è il numero di alunni di cui deve essere composta una classe scolastica affinché la probabilità di trovare almeno due ragazzi nati lo stesso giorno sia maggiore del 50%?

Intuitivamente siamo portati a pensare ad un numero abbastanza elevato, magari superiore a 100; in realtà sono sufficienti 23 ragazzi.

Il legame che c'è tra la probabilità ed il numero di persone si può ricavare dalla seguente tabella.

Can you answer?

How many pupils is to be a school class composed of in a way that the probability that at least two of them having the same birthday is greater than 50%?

Intuitively we could thing we need a lot of pupils, may be hundred or more. Truly, 23 pupils are enough.

The relationship between probability and requested (minimum) number of pupils is reported on the following table.

La tabella ci dice per esempio che se vogliamo avere una probabilità del 99% di trovare almeno due persone nate lo stesso giorno, dobbiamo avere un gruppo di 57 persone; oppure ci dice che in un gruppo di 34 persone la probabilità di avere almeno due persone nate lo stesso giorno è circa l'80%.

Una versione stampabile della tabella e del grafico la trovi
qui e qui .

Io conosco un procedimento che permette di trovare il risultato; tale ragionamento è interessante per il modo in cui permette di arrivare alla soluzione.

Nella tabella seguente troviamo in colonna 1 il numero d'ordine della persona, e nella colonna 3 la probabilità dell'evento illustrata in colonna 2. Se moltiplichiamo tra loro tutte le probabilità della terza colonna troviamo la probabilità che le 6 persone non siano nate lo stesso giorno ma il complemento a 1 ci darà allora la probabilità che almeno due di esse siano invece nate lo stesso giorno! Semplice, no?

1	probabilità che la persona 1 non sia nata lo stesso giorno di un'altra	365/365	infatti la persona 1 può "scegliere" un giorno qualsiasi per nascere senza per questo nascere nello stesso giorno di un'altra persona
2	probabilità che la persona 2 non sia nata lo stesso giorno di un'altra	364/365	infatti ora la persona 2 ha a disposizione solo 364 dei 365 giorni di un anno poiché un giorno è "occupato" dalla persona 1
3	probabilità che la persona 3 non sia nata lo stesso giorno di un'altra	363/365	infatti ora la persona 3 ha a disposizione solo 363 dei 365 giorni di un anno poiché 2 giorni sono "occupati" dalle persone 1 e 2
4	probabilità che la persona 4 non sia nata lo stesso giorno di un'altra	362/365	infatti ora la persona 4 ha a disposizione solo 362 dei 365 giorni di un anno poiché 3 giorni sono "occupati" dalle persone 1, 2 e 3
5	probabilità che la persona 5 non sia nata lo stesso giorno di un'altra	361/365	infatti ora la persona 5 ha a disposizione solo 361 dei 365 giorni di un anno poiché 4 giorni sono "occupati" dalle persone 1, 2, 3 e 4
6	probabilità che la persona 6 non sia nata lo stesso giorno di un'altra	360/365	infatti ora la persona 6 ha a disposizione solo 360 dei 365 giorni di un anno poiché 5 giorni sono "occupati" dalle persone 1, 2, 3, 4 e 5

Nel caso specifico se moltiplichiamo i numeri della terza colonna otteniamo 0,9595 ed il complemento ad 1 (1-0,9595)corrisponde a 0,0405 e cioè circa il 4%; questo vuol dire che un gruppo formato da 6 persone ha la probabilità che almeno due di esse siano nate lo stesso giorno pari a circa il 4%.

I calcoli sono stati fatti con una tabella di excel che trovi qui .

Anche se non l'ho mai detto, quanto detto sopra vale se la nascita delle persone è distribuita in modo uniforme all'interno dell'anno.